Matemática discreta Ejemplos

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x - 1, x + 1, 1, (x + 1) (x - 1)$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $x - 1$ es $x - 1$ en sí mismo.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $x + 1$ es $x + 1$ en sí mismo.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $x - 1$ es $x - 1$ en sí mismo.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El MCM de $x - 1, x + 1, x + 1, x - 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(x - 1) (x + 1)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ por $(x - 1) (x + 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ por $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x + 1 - \frac{1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x + 1}$ al numerador.

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.2.1.2.2

Factoriza $x + 1$ de $(x - 1) (x + 1)$ .

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$x + 1 + \frac{- 1}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$x + 1 - (x - 1) = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 - x - - 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x + 1 - x + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.2.1

Combina los términos opuestos en $x + 1 - x + 1$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$0 + 1 + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$1 + 1 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.2.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$2 = 1 ((x - 1) (x + 1)) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $(x - 1) (x + 1)$ por $1$ .

$2 = (x - 1) (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.3.1.2

Expande $(x - 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = x (x + 1) - 1 (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1) + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.3.1.3

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.3.1.3.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 1$ y $- 1 x$ .

$2 = x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $1 x$ de $1 x$ .

$2 = x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$2 = x \cdot x - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.3.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.4.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 = x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.3.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $(x - 1) (x + 1)$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Factoriza $(x - 1) (x + 1)$ de $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x - 1) (x + 1) (1)} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.3.1.5.2

Cancela el factor común.

$2 = x^{2} - 1 + \frac{2}{(x - 1) (x + 1) \cdot 1} ((x - 1) (x + 1))$

Paso 3.3.1.5.3

Reescribe la expresión.

$2 = x^{2} - 1 + 2$

Paso 3.3.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$2 = x^{2} + 1$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 1 = 2$ .

$x^{2} + 1 = 2$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2 - 1$

Paso 4.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$x^{2} = 1$

Paso 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 4.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x^{2} - 1}$ sea verdadera.

$No hay solución$